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drehmoment [2006/11/23 23:10] |
drehmoment [2006/11/23 23:10] (aktuell) |
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+ | ====== Drehmoment ====== | ||
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+ | aus Wikipedia: http:// | ||
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+ | Als Drehmoment (engl. Torque) bezeichnet man jene physikalische Größe, die bei der Beeinflussung einer Drehbewegung wirkt. Sie spielt dabei dieselbe Rolle wie die [[Kraft]] bei einer fortschreitenden Bewegung. | ||
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+ | Das Drehmoment wird in Newtonmeter (Einheitenzeichen: | ||
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+ | ===== Definitionen ===== | ||
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+ | Wirkt auf den Schwerpunkt eines frei beweglichen starren Körpers eine Kraft, so wird der Körper beschleunigt, | ||
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+ | Eine einzelne Kraft \vec F_1 kann keine reine Drehbewegung verursachen. Eine Veränderung der Drehbewegung ohne Änderung der Translationsbewegung ist erst möglich, wenn ein Kräftepaar angreift. Die zweite Kraft wird beispielsweise durch die drehbare Befestigung des Körpers aufgebracht. Ist die zweite Kraft entgegengesetzt gleich der ersten Kraft, \vec F_2 = -\vec F_1, so ist die resultierende Kraft auf den Körper null, und die Translationsbewegung ändert sich nicht. Trotzdem bewirkt das Kräftepaar ein Drehmoment und dadurch eine Veränderung der Drehbewegung. Dabei ist neben der Größe der beiden Kräfte \vec F_1 und \vec F_2 auch der Abstand der beiden Punkte, an denen die Kräfte angreifen, von Bedeutung. Der Abstand \vec r ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft \vec F_2 zum Angriffspunkt von \vec F_1 zeigt. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente r' von \vec r bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft \vec F_1 (oder \vec F_2) steht. r' ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken. | ||
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+ | Rechte-Hand-Regel: | ||
+ | vergrößern | ||
+ | Rechte-Hand-Regel: | ||
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+ | Der Betrag des Drehmomentes ist dann das Produkt von |\vec F_1| mit r', und die Richtung des Drehmomentes ist senkrecht zu der Ebene, die durch die Kraft \vec F_1 und den Abstandsvektor \vec r aufgespannt wird, und zwar in der Richtung, in die der Daumen zeigt, wenn man mit den gekrümmten Fingern der rechten Hand in Richtung der durch das Drehmoment hervorgerufenen Drehbewegung zeigt. Diese Definition hat sich für die notwendigen Berechnungen innerhalb der Technischen Mechanik bewährt, jedoch kann mit der gleichen Berechtigung ein Drehmoment definiert werden, das auf einer „Linken-Hand-Regel“ basiert. | ||
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+ | Dieser Zusammenhang zwischen den auf den Körper wirkenden Kräften, dem Abstandsvektor der beiden Angriffspunkte und dem Drehmoment (in Betrag und Richtung) wird in kompakter Form durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ausgedrückt. In dieser Darstellung erhält man für das Drehmoment \vec M die Definition: | ||
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+ | \vec M =\vec r\times\vec F_1. | ||
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+ | Die physikalische Dimension des Drehmomentes ist damit das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat es die (abgeleitete) Maßeinheit Newton-Meter (\mathrm{Nm=kg\, | ||
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+ | ===== D' | ||
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+ | Wirkt auf einen Körper eine von null verschiedene resultierende Kraft, z.B., weil nur eine einzige Kraft \vec F_1 von außen einwirkt, so wird der Körper nach dem 2. Newtonschen Gesetz beschleunigt. Nach dem d' | ||
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+ | Die Beschreibung des gleichen Vorgangs im ruhenden System (Inertialsystem) kommt ohne Trägheitskräfte aus. Hier bewirkt \vec F_1 sowohl eine [[Beschleunigung]] als auch ein Drehmoment \vec M =\vec r\times\vec F_1 und damit eine Winkelbeschleunigung (Beispiel: Anschneiden eines Balles durch seitliches Treten etc.). | ||
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+ | Siehe auch: Hauptartikel D' | ||
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+ | ===== Reale Körper ===== | ||
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+ | Reale Körper sind keine starren Körper. Das Modell des starren Körpers kann hier nur angewandt werden, wenn die durch die Einwirkung des Drehmomentes hervorgerufene Deformation (z. B. Torsion) des Körpers vernachlässigbar klein ist. Die Definition des Drehmomentes selbst lässt sich jedoch auch auf den Fall übertragen, | ||
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+ | Beispiel (Schraubenschlüssel) [Bearbeiten] | ||
+ | Beispiel | ||
+ | vergrößern | ||
+ | Beispiel | ||
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+ | Ein praktisches Beispiel zur Veranschaulichung des Drehmomentes ist das Lösen einer festsitzenden Schraube. | ||
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+ | Wenn die Schraube horizontal angeordnet ist und man einen Schraubenschlüssel von einem Meter Länge so auf die Schraube aufsetzt, dass der Hebelarm nach links weist, so kann man zum Lösen der Schraube auf diese ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 1 m) ausüben, wenn man das Ende des Schraubenschlüssels mit einer Kraft von 100 N nach unten drückt. Die Schraube muss dabei eine rückhaltende Kraft von 100 N in entgegengesetzter Richtung (nach oben) aufbringen, was z. B. zu einem Verkanten/ | ||
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+ | Diese Situation wird mit einem kürzeren Schraubenschlüssel noch verschärft. Um mit einem halb so langen Schlüssel das selbe Drehmoment aufzubringen, | ||
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+ | Wenn man einen solchen Schlüssel nicht zur Hand hat, so kann man die Schraube auch dadurch entlasten, dass man mit der gleichen Kraft, mit der man das linke Hebelende nach unten drückt, am anderen Ende (dicht an der Schraube) nach oben zieht. | ||
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+ | ===== Vergleich mit der Translationsbewegung ===== | ||
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+ | Das Verständnis des Drehmomentes kann ein Vergleich der bei einer Drehbewegung auftretenden Größen mit den charakteristischen Größen der Translationsbewegung erleichtern: | ||
+ | Translationsbewegung Rotationsbewegung | ||
+ | Strecke \vec x Winkel \vec \varphi | ||
+ | (Positiver Drehsinn entsprechend der Rechte-Hand-Regel entgegen dem Uhrzeigersinn) | ||
+ | Geschwindigkeit \vec v=\dot{\vec x} Winkelgeschwindigkeit \vec \omega=\dot{\vec\varphi} | ||
+ | Beschleunigung \vec a=\dot{\vec v}=\ddot{\vec x} Winkelbeschleunigung \vec\alpha=\dot{\vec\omega}=\ddot{\vec\varphi} | ||
+ | Masse m (Skalar) Trägheitstensor Θ (Tensor zweiter Stufe) | ||
+ | Impuls p = mv Drehimpuls \vec L = \Theta\cdot\vec\omega | ||
+ | Bewegungsgleichungen | ||
+ | Allgemein: Kraft ist mit Impulsänderung verknüpft | ||
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+ | \vec F=\dot{\vec p} | ||
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+ | Im Falle konstanter Masse m: | ||
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+ | \vec F=m\,\vec a | ||
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+ | Allgemein: Drehmoment ist mit Drehimpulsänderung verknüpft | ||
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+ | \vec M=\dot{\vec L} | ||
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+ | Im Falle konstanten Trägheitsmoments J: | ||
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+ | \vec M=J\cdot\vec\alpha | ||
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+ | ===== Anmerkungen: | ||
+ | |||
+ | * Im Allgemeinen zeigen \vec\omega und \vec L nicht in die gleiche Richtung – ein rotierender Körper „eiert“ –, daher ist das Trägheitsmoment im Allgemeinen nicht konstant. Das Äquivalent zur Masse der Translationsbewegung ist daher ein Tensor 2. Stufe – der Trägheitstensor. Ein konstantes Trägheitsmoment tritt genau dann auf, wenn der Körper um eine seiner Hauptträgheitsachsen rotiert. | ||
+ | * Der Punkt über einer Größe besagt, dass es sich hier um deren zeitliche Änderung (Ableitung \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}) handelt. | ||
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+ | ===== Unterschiedliches Auftreten des Drehmomentes ===== | ||
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+ | In der Technik ist es gebräuchlich, | ||
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+ | Man unterscheidet je nach der Richtung, in der Leistung fließt, zweierlei Drehmomente: | ||
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+ | 1. Antriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine etwas antreibt und Leistung abgibt. | ||
+ | 2. Abtriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine angetrieben wird und Leistung aufnimmt. | ||
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+ | * Antriebsmoment eines Motors (für Verbrennungsmotor siehe Link unten) | ||
+ | * Abtriebsmoment eines Generators, eines Kompressors oder einer Pumpe | ||
+ | * Antriebsmoment und Abtriebsmoment eines Getriebes | ||
+ | * Anfahrmoment einer Gasturbine | ||
+ | * Anzugsmoment einer Schraube | ||
+ | * Drehmoment in der Propellerwelle eines Schiffes oder eines Motorflugzeugs. | ||
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+ | Bei den folgenden Größen geht es nicht um die Bewegung, sondern um die Belastung und Deformation der Körper; in der Technik werden sie daher nicht als Drehmoment, sondern als Moment bezeichnet: | ||
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+ | * Biegemoment in einem Stahlträger | ||
+ | * Torsionsmoment in einer Welle | ||
+ | * Einspannmoment eines Kragträgers | ||
+ | * krängendes Moment des Windes auf ein Segelboot | ||
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+ | ====== Wiki- und Weblinks ====== | ||
+ | |||
+ | * Moment, Drehimpuls, Trägheitsmoment | ||
+ | * Drehmomentschlüssel, | ||
+ | * Drehmoment am einarmigen Schraubenschlüssel | ||
+ | * Entwicklung und Zukunft der Drehmomentmesstechnik | ||